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《因式分解》例题精讲与同步练习

时间: 01-28     手机版

本周的内容:因式分解
一、本节的重点是因式分解,包括因式分解的意义和把多项式的三种基本方法;难点是因式分解的方法的灵活运用
1.提公因式法的关键是确定公因式。即①取各项系数的最大公约数②字母取各项的相同的字母③各字母的指数取次数最低的。
2.运用公式法时要注意判断是否符合公式要求,并牢记公式的特征。
3.分组分解的关键是适当分组,先使分组后各组中能分解因式,再使因式分解能在各组之间进行。
4.分解因式时应当先考虑提公因式,然后判断是否可以套用公式,最后考虑分组分解。
5.分解因式时要灵活运用各种方法,并且要把每一个多项式因式分解到不能再分解为止。

二、表解知识要点:
运算公式或法则注意事项
提公因式要把多项式中的公因式全部提取出来,俗称:提尽公因式
用公式a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab-b2=(a±b)2注意完全平方公式中间的符号
分组分解 分组的目的是要能提公因式或运用公式

三、例题分析
例1 下列从左到右的变形,属于因式分解的有( )
A、(x+3)(x-2)=x2+x-6B、ax-ay-1=a(x-y)-1
C、8a2b3=2a2•4b3D、x2-4=(x+2)(x-2)
分析:本题考查因式分解的意义,考查学生对概念的辨析能力。要将各个选择项对照因式分解的定义进行审查。A是整式乘法,显然不是因式分解;B的右端不是积的形式,也不是因式分解;C的左端是一个单项式,显然不是因式分解;D是将一个多项式化成两个整式的积,符合因式分解的定义。所以选D。
例2把3ay-3by+3y分解因式
解:原式=3y(a-b+1)
例3把-4a3b2+6a2b-2ab分解因式
解:原式= -(4a3b2-6a2b+2ab)
= -(2ab•2a2b-2ab•3a+2ab•1) 这一步要记得变号
= -2ab(2a2b-3a+1) 这一步不要漏提最后的1
例4把-2p2(p2+q2)+6pq(p2+q2)分解因式
解:原式=-2p(p2+q2)(p-3q) 这里很容易漏掉p
例5把5(x-y)2-10(y-x)3分解因式
解:原式=5(x-y)2+10(x-y)3 公式(x-y)n= -(y-x)n(n为奇数)
(x-y)n= (y-x)n(n为偶数)
=5(x-y)2[1+2(x-y)] 因式分解要彻底,最后的答案要化简
=5(x-y)2(1+2x-2y)
例6把下列各式分解因式:
(1)4x2-9;(2)x-xy2(3)x4-1(4)- n2+2m2
解:(1)原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)
(2)原式=x(1-y2) 要先提公因式
=x(1+y)(1-y) 然后再用公式

(3)原式=(x2+1)(x2-1) 分解一定要彻底
=(x2+1)(x+1)(x-1) 所以……

(4)原式= - (n2-4m2) 提出- 后出现符合平方差公式的式子
= - (n+2m)(n-2m)
例7把下列各式因式分解:
(1)-x2+4x-4(2)(a+b)2+2(a+b)+1(3)(x2+y2)2-4x2y2
解:(1)原式= -(x2-4x+4)=-(x-2)2
(2)原式= (a+b+1)2
(3)原式= (x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) 先用平方差公式
= (x+y)2(x-y)2 再用完全平方公式
例8分解因式:7x2-3y+xy-21x
解法1:7x2-3y+xy-21x解法2:7x2-3y+xy-21x
=(7x2+xy)+(-3y-21x)=(7x2-21x)+(xy-3y)
= x(7x+y)-3(7x+y)=7x(x-3)+y(x-3)
= (7x+y)(x-3)=(x-3)(7x+y)
总结:分组的方法不是唯一的,但也并不是任意的,分组时要目标明确,首先应当使分组后每组都可以分解因式,其次每组分解因式后各组合在一起又可以分解因式。
例9把下列各式分解因式:
(1)1-x2+4xy-4y2(2)x2-4xy+4y2-3x+6y
解:(1)原式=1-(x2+4xy-4y2)
=1-(x-2y)2
=(1+x-2y)(1-x+2y)
(2)原式=(x2-4xy+4y2)+(-3x+6y) 分成两组后一组用完全平方公式
=(x-2y)2-3(x-2y) 另一组可提公因式
=(x-2y)(x-2y-3)
例10(思维训练)分解因式:x2-2xy+y2-2x+2y+1
解:原式=(x2-2xy+y2)+(-2x+2y)+1 分成三组
=(x-y)2-2(x-y)+1 形成完全平方式的形式
=(x-y-1)2

四、练习题
1、下列从左到右的变形:(1)15x2y=3x•5xy;(2)(a+b)(a-b)=a2-b2;(3)a2-2a+1=(a-1)2;(4)x2+3x+1=x(x+3+ )其中是因式分解的个数是( )
A、0个B、1个C、2个D、3个
2、把下列各式分解因式:
(1)4x3y-6x2y2+2x2y
(2)(x+y)a+(y+z)a+(z+x)a
(3)3(x-y)3-6(y-x)2
(4)- a4+ b2
(5)36(x+y)2-64(x-y)2
(6)(a+b)2-6(a+b)+9
(7)2ax+6by+3ay+4bx
(8)a3-2a2-4a+8
(9)4a2+12ab+9b2-25
(10)(x-2y)x3-(y-2x)y3(思维训练题,有点难度的,你不想试试吗?)
五、练习题解答
1、B
2、(1)原式=2x2y(2x-3y+1) 公因式要全部提出来,别漏掉啊!
(2)原式=a[(x+y)+(y+z)+(z+x)]
= a(2x+2y+2z)
=2a(x+y+z)
(3)原式=3(x-y)3-6(x-y)2
=3(x-y)2(x-y-2)
(4)原式= b2- a4
=( b+ a)( b- a)
(5)原式=[6(x+y)]2-[8(x-y)]2
=[6(x+y)+8(x-y)][6(x+y)-8(x-y)]
=(14x-2y)(14y-2x)
=4(7x-y)(7y-x) 因式分解一定要彻底哦!
(6)原式=(a+b-3)2
(7)原式=(2ax+4bx)+(3ay+6by)
=2x(a+2b)+3y(a+2b)
=(a+2b)(2x+3y)
(8)原式=(a3-2a2)-(4a-8)
= a2(a-2)-4(a-2)
=(a-2)(a2-4)
=(a-2)(a-2)(a+2)
=(a-2)2(a+2) 别忘了最后一步的整理!

(9)原式=(4a2+12ab+9b2)-25
=(2a+3b)2-52
=(2a+3b+5)(2a+3b-5)
(10)原式=x4-2x3y-y4+2xy3 首先用多项式乘法将之展开
=(x4-y4)+(-2x3y+2xy3) 然后进行分组
=(x2+y2)(x2-y2)-2xy(x2-y2) 分组后,各个组分别分解因式
=(x2-y2)(x2+y2-2xy) 再提出各组公共的因式(x2-y2)
=(x+y)(x-y)(x-y)2 将各因式彻底分解
=(x+y)(x-y)3 最后进行整理……搞定!

 

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